Problema (PL)
Un'amministrazione locale decide di rendere operanti due centri per la raccolta dei rifiuti destinati a essere riciclati. Per ogni giorno di apertura, il primo centro raccoglie 300 Kg di vetro, 200 kg di carta e 100 kg di alluminio, mentre al secondo centro giungono 100 kg di vetro, 600 kg di carta e 100 kg di alluminio.
L'amministrazione ha stipulato un contratto con una ditta specializzata nel riciclaggio dei materiali, in base al quale s'impegna a fornirle settimanalmente un minimo di 1200 kg di vetro, 2400 kg di carta e 800 kg di alluminio.
I costi dovuti alla sorveglianza e alla manutenzione del primo e del secondo centro ammontano, rispettivamente, a 40€ e 50€ per ogni giorno di apertura. I giorni di apertura settimanali non possono essere superiori a 6.
Per quanti giorni alla settimana deve funzionare ciascuno dei due centri affinché si rispetti il contratto di fornitura e, contemporaneamente, il costo complessivo settimanale risulti minimo?
Soluzione
Per prima cosa riuniamo i dati in una tabella che oltre a renderli più leggibili ci consentirà di costruire immediatamente il modello matematico di risoluzione:
| Primo centro | Secondo centro | Quantità minima globale | ||
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materiale raccolto (kg/d) |
vetro |
300 | 100 | 1200 |
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carta |
200 | 600 | 2400 | |
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alluminio |
100 | 100 | 800 | |
| COSTI (€/d) | 40 | 50 |
Costruzione del modello matematico
Variabili decisionali:
x: giorni di apertura settimanale del primo centro
y: giorni di apertura settimanale del secondo centro
Funzione obiettivo (costo da minimizzare):
F(x,y) = 40x + 50y
Vincoli (si deducono immediatamente dalla tabella, leggendola in orizzontale ed inserendo opportunamente la x e la y):
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Oltre ai vincoli tecnici forniti dal problema sono stati inseriti i vincoli di segno (non negatività delle variabili d'azione). |
Soluzione grafica con applet
All'apertura, l'applet presenta la soluzione relativa ai costi indicati nel testo. Due slider consentono di modificare tali valori per osservare se, fermo restando il dominio dei vincoli, si modifica la soluzione ottimale.
In particolare si può osservare cosa accade nel caso in cui i due centri propongano costi uguali.
Il dominio è dato dal triangolo di vertici A(2;6), B(6;6) e C(6;2). La soluzione ottimale cade sempre in uno dei vertici e le sue coordinate rappresentano l'utilizzo ottimale, in giorni lavorativi, rispettivamente del primo centro (x) e del secondo centro(y).