La geometria delle api


Le api in natura costruiscono i favi dove depositano, in celle, il raccolto e allevano la covata.La costruzione avviene con cera prodotta dalle api che viene secreta da otto piccole ghiandole situate sotto l'addome. Viene secreta in forma di fluido che solidifica rapidamente. Un favo è composto di due facce con celle a sezione esagonale.

Non costruiscono le celle a sezione circolare perché sprecherebbero cera, invece risparmiano cera in modo che ogni parete serva ogni volta per dividere due celle. In effetti i cerchi non consentono una tassellazione del piano, rimangono dei “buchi”.

 

Volendo tassellare un piano con piastrelle a forma di poligoni regolari (equilateri ed equiangoli) abbiamo tre possibilità:
i
n ogni vertice potremo avere 6 triangoli o 3 esagoni. o 4 quadrati.

 

 

 

 

 

 

 

 


Come si vede dalla figura, gli angoli dei poligoni scelti devono essere divisori di 360°, perciò 60°, 120°, 90° rispettivamente.

Tra queste possibilità, (triangoli, quadrati, esagoni) qual è quella più economica? In matematica è un problema di minimo.

Possiamo risolverlo in due modi:

1)      A parità di superficie S , calcolare quale poligono ha il perimetro minimo (la quantità di cera occorrente è minore per tale poligono).

2)      A parità di perimetro p , calcolare quale poligono racchiude l’area massima.

1) Calcoliamo il perimetro di un triangolo, di un quadrato e di un esagono con superficie assegnata. Sia la superficie uguale a 1 (S=1) e rispettivamente L3, P3, L4, P4, L6, P6, lati e perimetri del triangolo del quadrato e dell'esagono.

Per il quadrato :        L4=1;     P4=4;     S=1.



Per il triangolo :     P3=3*L3;        

 

   ;   ; Con S=1

Quindi   P3=4,559…

 

Per l'esagono :    P6=6*L6;  

L6

 
  ;

 
Con S=1

Il perimetro più piccolo è dunque quello dell’esagono

 

Quindi:  P6=3,722…

 

 


2) "A parità di perimetro, l'esagono racchiude una superficie di area maggiore rispetto al quadrato e al  triangolo equilatero"

 

Sia p il perimetro prefissato.

 

a) Area racchiusa dal triangolo equilatero

          ;                                

 

b) Area racchiusa dal quadrato

 

 

  ;             

 

 

c) Area racchiusa dall'esagono regolare

 

 ;               

 

 

b > a   infatti :

 

 


 

 

c > b   infatti :

 

 

 

 

 


L’esagono racchiude la superficie di area maggiore.

 

 

 

 

 

 


Proviamo a valutare cosa sarebbe accaduto, se le api avessero costruito celle circolari anziché esagonali.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Consideriamo l'esagono circoscritto ad un cerchio.

Area del cerchio =

 

Tenuto conto che il raggio del cerchio è l'apotema dell'esagono circoscritto, il lato dell'esagono è : 

 

 


Area dell’esagono =

 

 

 


Il rapporto                                                                                   = 0,906899…..

 

 

e                  .

 

Si può dedurre che la percentuale ricoperta da cerchi è circa il 91%

e lo spreco è circa il 9%.

Se si ricopre il piano con gli esagoni

si può anche osservare che i lati dei sei esagoni esterni formano "gratis" il perimetro dell'esagono interno; se 7 circonferenze sono in effetti 7 circonferenze, 7 perimetri esagonali sono in realtà ottenuti con 5 perimetri esagonali!

L’istinto delle api fa ancora di più. Noi abbiamo considerato fino ad ora le sezioni delle celle, abbiamo risolto cioè problemi di geometria piana.

Abbiamo detto che la sezione delle celle è esagonale, ma la cella stessa è a forma di prisma cavo con fondo cuspidato. Nelle due facce del favo le celle non sono esattamente opposte, poiché all'asse dell'una corrisponde nella faccia opposta del favo la costola comune a tre celle.

Anche l'alveolo è costruito con un minimo di superficie.

Questo problema di minimo è stato risolto (molto dopo le api!!) dall'inglese Mac Laurin nel 1743, confermando all’incirca le misure effettuate da Maraldi nel 1712.

Con il fondo cuspidato, a differenza di un fondo piatto, le api economizzano una cella su 55.Nella apicoltura razionale si preparano favi artificiali, con cera d'api, di forme identiche a quelle dei favi naturali per far risparmiare lavoro alle api.

 


Si può riempire uno spazio con dei cubi di spigolo 'a' . Supponiamo che tali cubi siano alternativamente bianchi e neri. Togliamo i cubi neri. Su ogni faccia dei due cubi bianchi costruiamo una piramide a base quadrata, sicché in ogni spazio lasciato vuoto da un cubo nero si trovino 6 piramidi con vertice comune, al centro di tale spazio.

Ogni poliedro formato dalle 6 piramidi sulle sei facce del cubo bianco è un dodecaedro rombico (poliedro con 12 facce uguali rombiche).
Il volume di tale dodecaedro è uguale a quello di due cubi, perciò è 2a3.

Si possono ottenere le celle di un alveare da due strati di dodecaedri sostituendo le facce libere

(3 per ogni dodecaedro) con una apertura esagonale.