La
geometria delle api
Le api in natura costruiscono i favi dove depositano, in celle, il
raccolto e allevano la covata.La costruzione avviene con cera prodotta dalle
api che viene secreta da otto piccole ghiandole situate sotto l'addome. Viene
secreta in forma di fluido che solidifica rapidamente. Un favo è composto di
due facce con celle a sezione esagonale.
Non costruiscono le celle a sezione circolare perché sprecherebbero
cera, invece risparmiano cera in modo che ogni parete serva ogni volta per dividere
due celle. In effetti i cerchi non consentono una tassellazione del piano,
rimangono dei “buchi”.
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Volendo tassellare un piano con
piastrelle a forma di poligoni regolari (equilateri ed
equiangoli) abbiamo tre possibilità:
in ogni vertice potremo avere 6 triangoli o 3 esagoni. o 4 quadrati.
Come si vede
dalla figura, gli angoli dei poligoni scelti devono essere divisori di 360°,
perciò 60°, 120°, 90° rispettivamente.
Tra queste possibilità, (triangoli, quadrati, esagoni) qual è quella più
economica? In matematica è un problema di minimo.
Possiamo
risolverlo in due modi:
1) A
parità di superficie S , calcolare quale poligono ha il perimetro minimo (la quantità di cera
occorrente è minore per tale poligono).
2)
A parità di perimetro p , calcolare quale
poligono racchiude l’area massima.
1)
Calcoliamo il perimetro di un triangolo, di un quadrato e di un esagono con
superficie assegnata. Sia la superficie uguale a 1 (S=1) e
rispettivamente L3, P3, L4, P4, L6,
P6, lati e perimetri del triangolo del quadrato e dell'esagono.
Per il quadrato
: L4=1; P4=4; S=1.
Per il triangolo
: P3=3*L3;
; ; Con S=1
Quindi P3=4,559…
Per
l'esagono
: P6=6*L6;
L6
;
Con
S=1
Il perimetro più piccolo è dunque quello
dell’esagono
Quindi: P6=3,722…
2) "A parità di perimetro, l'esagono racchiude una
superficie di area maggiore rispetto al quadrato e al triangolo equilatero"
Sia p il perimetro
prefissato.
a) Area racchiusa dal triangolo equilatero
;
b) Area racchiusa dal quadrato
;
c) Area racchiusa dall'esagono regolare
;
b > a infatti :
c > b infatti :
L’esagono racchiude la superficie di area maggiore.
Proviamo a valutare cosa sarebbe accaduto, se le api
avessero costruito celle circolari anziché esagonali.
Consideriamo l'esagono circoscritto ad un
cerchio.
Area del cerchio =
Tenuto conto che il raggio del cerchio è
l'apotema dell'esagono circoscritto, il lato dell'esagono è :
Area dell’esagono =
Il rapporto =
0,906899…..
e
.
Si può dedurre che la percentuale ricoperta
da cerchi è circa il 91%
e lo spreco è circa il 9%.
Se si ricopre il piano con gli esagoni
si può anche osservare che i lati dei sei
esagoni esterni formano "gratis" il perimetro dell'esagono interno;
se 7 circonferenze sono in effetti 7 circonferenze, 7 perimetri esagonali sono
in realtà ottenuti con 5 perimetri esagonali!
L’istinto delle api fa ancora di più. Noi abbiamo
considerato fino ad ora le sezioni delle celle, abbiamo risolto cioè problemi
di geometria piana.
Abbiamo detto che la sezione delle celle è
esagonale, ma la cella stessa è a forma di prisma cavo con fondo cuspidato.
Nelle due facce del favo le celle non sono esattamente opposte, poiché all'asse
dell'una corrisponde nella faccia opposta del favo la costola comune a tre
celle.
Anche l'alveolo è costruito con un minimo di superficie.
Questo problema di minimo è stato risolto (molto dopo le api!!)
dall'inglese Mac Laurin nel 1743, confermando all’incirca le misure effettuate
da Maraldi nel 1712.
Con il fondo cuspidato, a differenza di un fondo piatto, le api
economizzano una cella su 55.Nella apicoltura razionale si preparano favi
artificiali, con cera d'api, di forme identiche a quelle dei favi naturali per
far risparmiare lavoro alle api.
Si può
riempire uno spazio con dei cubi di spigolo 'a' . Supponiamo che tali cubi
siano alternativamente bianchi e neri. Togliamo i cubi neri. Su ogni faccia dei
due cubi bianchi costruiamo una piramide a base quadrata, sicché in ogni spazio
lasciato vuoto da un cubo nero si trovino 6 piramidi con vertice comune, al
centro di tale spazio.
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Ogni poliedro formato dalle 6 piramidi sulle sei facce
del cubo bianco è un dodecaedro rombico (poliedro con 12
facce uguali rombiche). |
Si possono ottenere le celle di un alveare da due strati di dodecaedri
sostituendo le facce libere
(3 per ogni dodecaedro)
con una apertura esagonale.