Sistemi lineari

 
  Sistema lineare in forma canonica o normale
Ricordiamo che un'equazione lineare in 2 incognite è indeterminata (ma non è un'identità) in quanto ha infinite soluzioni. Le soluzioni sono le coppie ordinate del tipo (x;y), che rendono vera l'uguaglianza.
Risolvere un sistema significa trovare, se esistono, le soluzioni comuni alle sue equazioni. 
Il grado di un sistema si determina moltiplicando i gradi delle singole equazioni. Un sistema lineare contiene solo equazioni di 1°grado. 

Un sistema lineare determinato ha una sola soluzione, cioè esiste una sola coppia ordinata (x;y) che soddisfa entrambe le equazioni. Un sistema può essere anche  indeterminato(infinite soluzioni) o impossibile(nessuna soluzione).       

Esistono vari metodi di risoluzione, qui vedremo i seguenti:

1)   Metodo di sostituzione

2)   Metodo di riduzione  

3)   Metodo di Cramer 

 
1)  Metodo di sostituzione    
    

  

  1. Effettuiamo tutte le operazioni presenti nel sistema e riduciamo i monomi simili

  2. Da una delle equazioni ricaviamo un'incognita in funzione dell'altra (noi ricaviamo x)

      

  1. Sostituiamo l'espressione trovata nella seconda equazione (al posto della x) e sviluppiamo i calcoli

  2. Lasciamo ferma la prima equazione e risolviamo la seconda che si è ridotta ad una sola incognita
       
  1. Il valore numerico appena trovato per la y va ora sostituito nella prima equazione, per poter ricavare anche la x

 

2)  Metodo di riduzione  
Questo metodo utilizza il principio secondo il quale, se ad una delle equazioni di un sistema sostituisco una sua combinazione lineare con l'altra equazione, il sistema ottenuto è equivalente a quello di partenza. Naturalmente questo metodo è particolarmente utile se la combinazione lineare che andiamo a costruire riesce a farci eliminare subito una delle incognite. I passi da fare sono i seguenti (per un sistema già in forma canonica) :

  1. Si osserva se, sommando algebricamente in colonna le due equazioni, una delle due incognite si può già eliminare (i coefficienti devono essere uguali o opposti) . Altrimenti :

  2. Si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un’incognita

  3. Si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto)  per l’incognita considerata

  4. Si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare un’incognita

  5. Si  risolve l’equazione così ottenuta ad una sola incognita

  6. A scelta si può ripetere il procedimento per l’eliminazione dell’altra incognita oppure effettuare il metodo di sostituzione.  
Esempio

La y si può già eliminare con una semplice somma termine a termine; questo ci consente di ricavare immediatamente la x. Possiamo procedere per sostituzione e ricavare rapidamente anche la y (sostituiamo il valore di x nella prima eq.):

12 + y = 9  ------>  y = -3   -----> 

 27x + 0 = 27  da cui   x = 1
Volendo procedere ancora per riduzione, dobbiamo cercare di eliminare la x :  il m.c.m. tra 12 e 15 è 60, perciò moltiplichiamo nel modo seguente:        y = -3

     0   + 9y = -27

 

3) Metodo di Cramer   (Gabriel Cramer , matematico svizzero, 1704-1752)
Dopo aver posto il sistema nella forma canonica, chiamiamo delta, delta x, delta y, le seguenti espressioni:  
Determinante dei coefficienti La colonna dei coefficienti delle x viene sostituita dai termini noti La colonna dei coefficienti delle y viene sostituita dai termini noti
Le soluzioni si trovano ponendo

                    Dovrà essere necessariamente .  

Se risulta  D = 0, allora si presenta uno dei due casi seguenti:

 1) Il sistema è impossibile (se Dx ¹ 0)

2) Il sistema è indeterminato (se anche Dx = 0)

 
Esempio svolto
Calcoliamo i tre determinanti:
Il determinante dei coefficienti non è nullo per cui il sistema è determinato.
Soluzioni :