Classi 2° e 3°- Ripassiamo

 

 

La retta

Introdurremo le rette come Luoghi Geometrici del piano (L.G. : figure i cui punti  godono tutti, e solo essi, di una medesima proprietà). La proprietà comune ai punti della retta, tradotta in simboli , ci fornirà automaticamente l'equazione della retta considerata.

Rette parallele all'asse delle ascisse

Tutti i punti di tali rette godono della proprietà di avere la medesima ordinata, possiamo dunque dire :  "Una retta parallela all'asse delle x è il luogo geometrico dei punti del piano aventi ordinata costante "  ..... in simboli :

        y = h       h reale

 

Ovviamente, l'asse x stesso sarà "il L.G. dei punti del piano aventi ordinata nulla "

y = 0

 

Rette parallele all'asse delle ordinate

Tutti i punti di tali rette godono della proprietà di avere la medesima ascissa, possiamo dunque dire : "Una retta parallela all'asse delle y è il luogo geometrico dei punti del piano aventi ascissa costante "   ..... in simboli :

        x = k     k reale

 

Ovviamente, l'asse y stesso sarà "il L.G. dei punti del piano aventi ascissa nulla "

x = 0

 

Retta obliqua passante per l'origine

Anche la retta per l'origine viene introdotta come luogo geometrico, solo che a differenza di quanto accade per le parallele agli assi, la proprietà comune a tutti i suoi punti risulta meno evidente...
Tracciamo una retta per l'origine ed osserviamo che i triangoli indicati in figura, sono simili, di conseguenza, i lati sono in proporzione...

Possiamo scrivere una catena di rapporti....
AA'/OA' = BB'/OB' = CC'/OC' =...=cost 

Indichiamo questo rapporto costante con m,  per cui generalizzando, possiamo scrivere:

            y/x = m  ---->  y = mx

Concludiamo dicendo :"la retta per l'origine è il L.G. dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa. "

 y = mx

Il rapporto costante "m" è detto coefficiente angolare in quanto è legato alla misura dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse (attraverso la funzione goniometrica tangente  :m=tga, se a è l'angolo). Il coefficiente angolare è funzione crescente dell'angolo, nel senso che ad angoli più grandi corrispondono valori maggiori di m.

Risulta m>0 se la retta attraversa il 1° e 3° quadrante (in quanto y/x è rapporto di numeri concordi) e cioè se forma un angolo acuto.

Risulta m<0 se la retta passa per il 2° e 4° quadrante, cioè se forma un angolo ottuso.

 

Retta non passante per l'origine

Per finire, una retta r non passante per l'origine, ha la caratteristica di avere, rispetto alla sua parallela passante per l'origine, l'ordinata di ogni punto incrementata di un valore "q" che rappresenta l'ordinata del punto di intersezione di r con l'asse delle y e perciò detta ordinata all'origine

Quindi l'equazione della retta non passante per l'origine è :

 y = mx + q

Notiamo che già solo osservando l'equazione di una retta possiamo trarre tante informazioni utili....
1)il segno di m indica l'inclinazione....
2)il segno ed il valore di q  indicano dove taglia l'asse y...
3)la mancanza di q, indica che passa per l'origine...
4)la mancanza di una variabile,  indica che si tratta di una parallela ad uno degli assi...