Proprietà delle funzioni

 

Una relazione fra due insiemi A e B  è una funzione  se ad ogni elemento del primo insieme associa uno ed un solo elemento del secondo insieme. Funzione iniettiva. Una funzione da A a B si dice iniettiva se ad elementi distinti del primo insieme corrispondono immagini distinte nel secondo insieme, in altri termini: se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A. Funzione suriettiva. Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento del secondo insieme è immagine di almeno un elemento del primo insieme; in questo caso    risulta:     f(A) = B,  il codominio coincide con l'insieme di arrivo.   Funzione biiettiva. Una funzione da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva.  Una funzione biiettiva viene anche detta biiezione o corrispondenza biunivoca. Funzioni reali di variabile reale . Sono le funzioni per le quali sia l’insieme di partenza che l’insieme di arrivo sono uguali all’insieme R dei numeri reali, o ad un suo sottoinsieme: f: R----> R Funzioni pari  Sia y = f(x) una funzione definita nel dominio D.  Sia D un sottoinsieme di R tale che se x appartiene a D allora anche (–x) gli appartiene. La funzione y = f(x) si dice pari se risulta       f(-x) = f(x)              per qualunque x appartenente a D. Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.     Funzioni dispari La funzione y = f(x) si dice dispari se risulta f(-x) = - f(x) per qualunque x appartenente a D. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi. Funzioni monotòne Sia data la funzione f : X---->R , con X sottoinsieme di R;                               f si dice crescente (in senso stretto) in X se per ogni x1, x2 di X,  con x1 < x2,  risulta :                                   f (x1) < f (x2) f si dice non decrescente o crescente in senso lato, in  X  se per ogni x1, x2 di X,   con x1 < x2,  risulta:                                                                                                                          f (x1) £ f (x2). In ogni caso f(x1) si mantiene al di sotto di f(x2), o al massimo uguale.   <----------------------> Sia data la funzione f : X---->R , con X sottoinsieme di R;                               f si dice decrescente (in senso stretto) in X  se per ogni x1, x2 di X,               con x1 < x2,  risulta :          f (x1) > f (x2) f si dice non crescente o decrescente in senso lato, in X  se per ogni x1, x2 di X, con x1 < x2,  risulta :             f (x1) ³ f (x2). In ogni caso f(x1) si mantiene al di sopra di f(x2) (o uguale).