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Parallelismo e
perpendicolarità
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L'equazione di una retta dipende dai
parametri m e q. Vediamo se esistono relazioni fra i
parametri di due rette in posizioni particolari una rispetto all'altra, cioè
di due rette parallele e di due rette perpendicolari.
Rette parallele
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Consideriamo due rette r ed s
di equazioni:
y=
mx+q e y=m'x+q'
Se le rette sono parallele formano con l'asse delle
x angoli congruenti, di conseguenza i loro coefficienti angolari
saranno uguali. |
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Condizione
necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che abbiano lo
stesso coefficiente angolare:
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Rette perpendicolari
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Consideriamo due rette r
ed s perpendicolari tra loro e passanti per l'origine (questa
ipotesi non è restrittiva in quanto se r ed s fossero
generiche si potrebbero sempre considerare le loro parallele passanti
per l'origine, questo non muterebbe un'eventuale relazione tra i loro
coefficienti angolari).
Equazioni: y=mx
e y=m'x Sia
A un punto sulla retta r e sia B il punto sulla
retta s, avente la stessa ascissa x0 di A.
Considerando le rette di appartenenza i due punti hanno coordinate:A(x0;mx0),
B(x0;m'x0). Il triangolo AOB è rettangolo per cui possiamo applicare ad esso il
2° teorema di Euclide . |
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AH
: OH = OH : HB
(2°teorema
di Euclide)
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In termini di misura, il
teorema si traduce nella relazione: x02
= |mx0|.|m'x0| Considerando
i quadranti di appartenenza, le due rette avranno sempre coefficienti angolari
opposti, per cui la precedente relazione può scriversi: x02
= - m.m'x02
e ancora, dividendo per x02
: m.m' = -1
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Condizione
necessaria e sufficiente affinché due rette siano perpendicolari è che
il
prodotto dei loro coefficienti angolari sia -1 oppure, in altri termini, che il
coefficiente angolare di una sia l'opposto del reciproco di quello dell'altra.
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