Studiamo la disequazione :

Poiché la frazione è irriducibile (non ci sono operazioni da fare, tipo m.c.m. tra più frazioni con denominatori diversi o altro…) è “pronta” per essere studiata.

Ragioniamo prima su quale domanda ci pone questa disequazione :

“Dimmi per quali valori di x, la funzione fratta (x+3)/(2-x) è negativa”

Una funzione di x, in generale, assume valori diversi al variare di x, per esempio, nel nostro caso:

Per x =3 la funzione è negativa

Per x =1 la funzione è positiva

Certo, per risolverla, non possiamo continuare per tentativi. Il metodo di risoluzione consiste in questo:

si studiano separatamente i segni del numeratore e del denominatore (che sono ancora due funzioni di x, però INTERE) e si riportano i risultati su un grafico che usa la seguente simbologia :

“ “ una linea intera, per indicare che la funzione è positiva

“ --------------------------- “ una linea tratteggiata, per indicare che la funzione è negativa

x ³-3

per avere i segni della funzione fratta, basterà moltiplicare, per ogni intervallo trovato, i corrispondenti segni del numeratore e del denominatore. Risolviamo la nostra diseq. :

N³0 per x+3 ³0

D>0 per 2-x >0 -x > -2 x < 2

N.B. Il numeratore (N) ed il denominatore (D), per

convenzione,vengono posti >0, qualunque sia il segno

richiesto dalla disequazione (sapere dove sono positivi

ci dirà, automaticamente, anche dove sono negativi).

In particolare, al numeratore si può porre anche il segno di uguale, per conoscere il valore in cui la frazione si annulla.

Il numeratore è positivo per le x più grandi di –3; negativo per quelle più piccole; nullo per x=-3

GRAFICO:

- 0 + -

Nell’ultima riga c’è rappresentato il segno della frazione, al variare di x sulla retta reale. I segni indicati sono stati ottenuti moltiplicando quelli delle due righe superiori (ricorda il significato delle linee). C’è anche indicato dove la frazione vale 0 (per x = -3).

Ora basta andare a cercare in quali intervalli la frazione ha il segno richiesto dalla disequazione (ricordi la domanda?), cioè segno negativo:

0

_

+

_

N/D

D(x)

N(x)

x

2

-3

Soluzione: x < -3 ; x > 2