Linee di livello

Una funzione reale di 2 variabili reali è una relazione che ad ogni coppia (x,y) di numeri reali associa uno ed un solo numero reale:

z = f(x,y) Il grafico di una tale funzione è una superficie dello spazio RxRxR, in particolare si tratta di una superficie topografica cioè una superficie incontrata in un solo punto dalle parallele all’asse z. La rappresentazione grafica di una z =f(x,y) è sempre piuttosto complicata; per capire l’andamento della superficie si può fare ricorso alle linee di livello:

Le linee di livello sono le curve che si ottengono come intersezione di una superficie con i piani paralleli al piano xy (z = k). Anche le proiezioni ortogonali di queste curve sul piano xy, prendono lo stesso nome.


Sono semplici da rappresentare (anche senza l’aiuto di un software):

1. le linee di livello di una superficie algebrica del 1° ordine, cioè di un piano: ax + by + cz + d = 0 2. le linee di livello di alcune quadriche , in particolare del paraboloide ellittico e del paraboloide iperbolico (o a sella).
Nel primo caso si ottiene un fascio di rette parallele, nel secondo caso si ottengono delle ellissi (o circonferenze) e delle iperboli.

Ricordiamo che per studiare la superficie si possono effettuare delle sezioni anche con i piani coordinati xz e yx, in questi casi le curve che si ottengono vengono dette linee sezione.

Osserviamo, nelle figure, un paraboloide ellittico e le relative linee di livello (in particolare, quello in figura, è un paraboloide di rotazione, le sezioni pertanto, risultano delle circonferenze):