Massimi e minimi di funzioni a due variabili

 

I massimi e minimi (o, più brevemente, gli estremi) di una funzione a due variabili possono essere classificati come segue:

q    Estremi liberi: punti più alti (massimi) o più bassi (minimi) della funzione relativamente ad un intorno circolare di un punto.

q    Estremi vincolati (da equazioni): punti più alti (massimi) o più bassi (minimi) della funzione soggetta ad un vincolo di uguaglianza:

q    Estremi assoluti (vincolati da un sistema di disequazioni): punti più alti (massimi) o più bassi (minimi) della funzione soggetta ad un sistema di vincoli di disuguaglianza che definiscono una zona del piano x0y (regione ammissibile):

Procedimenti risolutivi

 

Estremi liberi

q    Procedimento grafico – Applicabile quando la funzione è facilmente rappresentabile graficamente per curve di livello (le curve di livello sono rette, parabole, circonferenze, iperboli equilatere)

q    Procedimento algebrico (Derivate) – Sempre applicabile

 

Descrizione dei procedimenti:

 

Procedimento grafico:

1.     Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve

2.     Si cercano, fra tutte le curve, situazioni estreme (la più grande o la più piccola): queste, se ci sono, rappresenteranno un estremo relativo

3.     Alla curva più grande verrà associato

Ø       un massimo relativo se la z è in relazione diretta con le curve (all’aumentare di z la curva aumenta di dimensione)

Ø       un minimo relativo se la z è in relazione inversa con le curve

 

Osservazione: in realtà tale procedimento conduce ad un estremo relativo solo se le curve di livello sono circonferenze o ellissi.

Esempio:      Calcolare gli estremi relativi della funzione

 

Svolgimento

Curva di livello generica:

Si tratta di circonferenze concentriche di centro  e raggio ; dunque  e all’aumentare di z diminuisce il raggio.

 

Si avrà una situazione estrema nella circonferenza più piccola (raggio=0); essendoci relazione inversa fra z e raggio rappresenterà un massimo relativo.

 

Soluzione : Massimo relativo per  x=2 e y=-3            z=13     (il massimo vale 13, il punto di massimo ha coordinate  (2,-3,13)  )

Procedimento algebrico:

1.     Si calcolano le due derivate parziali prime

2.     Si calcolano i punti critici (potenziali estremi relativi) risolvendo il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a 0 

3.     Si calcolano le quattro derivate seconde

4.     Si calcola l’Hessiano, ovvero il determinante della matrice quadrata del secondo ordine formata dalle derivate seconde:

5.     Si valuta, per ogni punto critico, il segno dell’Hessiano in base al seguente schema:
Sia un punto critico; se

Ø      

§          allora è un massimo relativo

§          allora è un minimo relativo

Ø        allora è un punto di sella

Ø        allora non si possono trarre conclusioni e serve un’analisi grafica (linee di livello in un intorno di P) per capire di che punto si tratta

 

Osservazione: potendo aver a che fare con molti punti critici è conveniente annotare i vari valori in una tabella di questo tipo:

punto

x

y

H

z”xx

tipo

A

2

-1

3

3

minimo relativo

B

3

2

2

-1

massimo relativo

C

4

4

-2

 

sella

D

-1

0

0

 

?

 

Esempio:      Calcolare gli estremi relativi della funzione

              Svolgimento:

 e dunque il sistema:

Si trovano 4 punti critici:

; ; ;

Si calcola l’Hessiano:

In tabella la soluzione del problema:

 

punto

x

y

H

z”xx

tipo

A

-1

-12

-

sella

B

-1

-12

-

sella

C

2

0

24

4

minimo relativo

D

-2

0

8

-4

massimo relativo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappresentazione grafica della
superficie realizzata con Derive 5

 

Sono chiaramente visibili il max, il min ed una delle selle (l’altra è in posizione simmetrica rispetto al max).

 

Estremi vincolati (da equazioni)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

q   Procedimento grafico – Applicabile quando sia le curve di livello della funzione che il vincolo sono facilmente rappresentabili graficamente (rette, parabole, circonferenze, iperboli equilatere)

q   Procedimento per sostituzione (Metodo elementare o delle derivate) – Applicabile quando nel vincolo è possibile esplicitare una variabile

q   Procedimento algebrico (Metodo dei moltiplicatori di Lagrange) – Sempre applicabile

 

 

Descrizione dei procedimenti:

Procedimento grafico:

 

1.     Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve

2.     Si rappresenta graficamente il vincolo (nello stesso sistema cartesiano)

3.     Si cercano, fra tutte le curve di livello che hanno punti in comune con il vincolo, situazioni estreme: queste, se ci sono, rappresenteranno estremi vincolati

4.     Alle curve estreme verranno assegnati massimo o minimo vincolati a seconda della relazione esistente fra z e le curve di livello.

Esempio:      Calcolare gli estremi vincolati della funzione

 

 soggetta al vincolo

Svolgimento

Curva di livello generica:

Si tratta di circonferenze concentriche di centro  e raggio ; dunque  e all’aumentare di z diminuisce il raggio.

Il vincolo è una retta di equazione .

È evidente che la situazione estrema coincide con la retta tangente; essendo quella tangente la circonferenza più piccola ed esistendo una relazione inversa fra z e raggio si avrà un massimo vincolato nel punto di tangenza A.

 

Ora il problema di ricerca delle coordinate del punto A è puramente geometrico. Trattandosi in questo esempio di circonferenza è possibile procedere in 3 modi diversi:

a)      Condizione di tangenza. Tale procedimento, valido per ogni conica, consiste nel mettere a sistema la curva di livello generica con l’equazione della retta; nell’equazione di 2° grado risolutiva del sistema va poi posta la condizione di tangenza delta=0:
equazione:
Condizione di tangenza:
Soluzione
Per il calcolo delle coordinate del punto A sostituisco il valore di z nel sistema:
; coordinate del punto A di massimo vincolato: ;

b)      Distanza retta-Centro. Tale procedimento vale solo per la circonferenza e si avvale della proprietà che il raggio è perpendicolare alla retta tangente (nel punto di tangenza).
Si calcola il raggio della circonferenza tangente come distanza fra retta e centro:
 
dunque:  elevando al quadrato
Soluzione . Ora, come nel procedimento precedente, si risolve il sistema fra circonferenza e retta calcolando dunque la soluzione di massimo vincolato: ;

c)      Intersezione fra raggio e tangente. Anche tale procedimento vale solo per la circonferenza e si avvale della proprietà che il raggio è perpendicolare alla retta tangente (nel punto di tangenza).
Si calcola l’equazione del raggio CA conoscendo punto di passaggio C e coefficiente angolare della retta perpendicolare:
equazione raggio CA[1]:  ovvero
Ora, per calcolare le coordinate del punto A, punto di incontro fra retta-vincolo e raggio CA, basta risolvere il seguente sistema:
 la cui soluzione è dunque il massimo vincolato: ;
Sostituendo ;  in  si calcola

 

 

 

Procedimento per sostituzione:

 

1.     Si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile (x o y indifferentemente)

2.     Si sostituisce l’espressione ricavata nella funzione iniziale eliminando dunque una variabile

3.     Si procede come per il calcolo di estremi relativi in una funzione ad una variabile (studio del segno della derivata prima)

Esempio:     Calcolare gli estremi vincolati della funzione  soggetta al vincolo

Svolgimento: Dal vincolo ricavo  e lo sostituisco nella funzione ottenendo:
 calcolo ora la derivata prima e ne studio il segno:

                                                                                     -3                  2

 

                                                                                                  +          0         -        0       +          

 

 

Soluzioni : Massimo vincolato  e   minimo vincolato


Procedimento algebrico:

1.     Ricordando che la funzione  è soggetta al vincolo , si costruisce la funzione di Lagrange (o lagrangiana) come:
   che è una funzione a 3 variabili
(dove  è detto moltiplicatore di Lagrange)

2.     Si calcolano le tre derivate parziali prime

3.     Si calcolano i punti critici (potenziali estremi vincolati) risolvendo il sistema delle tre derivate parziali prime poste uguali a 0
   

4.     Si calcola l’Hessiano orlato, ovvero il determinante della matrice quadrata del terzo ordine* formata come segue:

5.     Si valuta, per ogni punto critico, il segno dell’Hessiano orlato in base al seguente schema:
Sia un punto critico; se

Ø                 è un massimo vincolato di z

Ø                 è un minimo vincolato di z

Ø        non si possono trarre conclusioni e serve un’analisi grafica per capire di che punto si tratta

Osservazione: potendo aver a che fare con molti punti critici è conveniente annotare i vari valori in una tabella di questo tipo:

punto

x

y

tipo

A

2

-1

3

-3

minimo vincolato

B

3

2

2

1

massimo vincolato

C

-1

0

0

0

?


Esempio:        Calcolare gli estremi vincolati della funzione  soggetta a :

 

Svolgimento : Si costruisce la funzione di Lagrange:
Si calcolano le derivate parziali prime, si pongono =0 e si mettono a sistema:
Si trovano 4 punti critici:

punto

x

y

A

0

B

0

C

0

D

0

 

* Il calcolo del determinante di una matrice del 3° ordine (3 righe e 3 colonne) può essere fatto con la regola di Sarrus. Tale regola, applicabile solo a matrici del 3° ordine, consiste nel copiare le prime due colonne della matrice sulla destra della matrice stessa e nel fare una serie di prodotti incrociati, come mostrato nel seguente schema:

 


=

 


Si calcola ora l’Hessiano orlato:
=

Soluzioni:

punto

x

y

tipo

z

A

0

-48

minimo vincolato

2

B

0

-48

minimo vincolato

2

C

0

48

massimo vincolato

3

D

0

48

massimo vincolato

3

 

 
 
 
Estremi assoluti (vincolati da disequazioni)

 

 

q   Procedimento grafico – Applicabile quando la funzione è facilmente rappresentabile graficamente per curve di livello (le curve di livello sono rette, parabole, circonferenze, iperboli equilatere)

q   Procedimento algebrico – Sempre applicabile

 

Descrizione dei procedimenti:

 

Procedimento grafico:

 

1.     Si risolve il sistema dei vincoli rappresentando graficamente la regione del piano (campo di scelta) in cui ricercare gli estremi

2.     Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve

3.     Si cercano, fra tutte le curve di livello che hanno punti in comune con la regione del piano (campo di scelta), situazioni estreme: queste, se ci sono, rappresenteranno estremi assoluti.

 

 

Esempio:      Calcolare gli estremi assoluti della funzione  soggetta a:

 

Svolgimento: Si risolve il sistema dei vincoli individuando la regione del piano delimitata dal triangolo OAB;

 

 

 

 

 

 

 

 

Si rappresentano graficamente le curve di livello; si tratta di una famiglia di parabole con la concavità rivolta verso l’alto e lo stesso asse si simmetria di equazione ; all’aumentare di z aumenta il termine noto, dunque la parabola si alza (relazione diretta).

 

Si hanno due situazioni estreme:

Ø       La parabola più alta è quella tangente nel punto D; dunque D è un massimo assoluto (relazione diretta …)

Ø       La parabola più bassa è quella passante per A; dunque A è un minimo assoluto

 

Soluzione di minimo assoluto:    A: .

Il punto D (massimo assoluto) va calcolato con il classico procedimento di tangenza ad una parabola:

…equazione:
condizione di tangenza:


Procedimento algebrico:

1.     Si risolve il sistema dei vincoli rappresentando graficamente la regione del piano (campo di scelta) in cui ricercare gli estremi

2.     Si calcolano i punti critici della funzione (potenziali estremi relativi) appartenenti alla regione del piano (campo di scelta) e, per ciascuno di questi, si calcola il valore di z

3.     Sia calcolano gli estremi vincolati in corrispondenza di ogni vincolo di uguaglianza (rappresentato dalle frontiere della regione del piano) e, per ciascuno di questi, si calcola il valore di z

4.     Sia calcolano il valori di z in corrispondenza dei vertici della regione del piano

5.     Si confrontano i valori della z di tutti i punti trovati: al valore più alto corrisponderà il massimo assoluto ed al più basso il minimo assoluto

 

Osservazione: avendo a che fare con molti punti è conveniente annotare i vari valori in una tabella di questo tipo:

punto

x

y

z

soluzione

A

2

-1

3

massimo assoluto

B

3

2

2

-

C

-1

0

0

minimo assoluto

 

Esempio:       Calcolare gli estremi assoluti della funzione  soggetta a:

Svolgimento: Si risolve il sistema dei vincoli individuando la regione del piano delimitata dal poligono ABCD;

 

Si calcolano i punti critici risolvendo il sistema:

I punti critici  e  non appartengono al campo di scelta per cui vanno ignorati.

 

Ora si effettua lo studio nei vari lati del poligono (frontiere):

Ø       Lato CD: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene , la cui derivata prima vale ; si annulla nel punto che è al di fuori dell’intervallo della y in questa frontiera e va dunque ignorato.

Ø       Lato CB: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene , la cui derivata prima vale ; si annulla nei punti  che, approssimativamente, valgono:; solo la seconda soluzione è accettabile; dunque si ottiene il punto E, la cui ordinata vale approssimativamente ; la z, nel punto E, vale approssimativamente .

Ø       Lato AB: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene , la cui derivata prima vale ; si annulla nel punto che è al di fuori dell’intervallo della x in questa frontiera e va dunque ignorato.

Ø       Lato AD: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene ; dunque in questo lato la funzione è costante.

 

Infine si calcola il valore della z in corrispondenza ad ogni vertice, si riportano in tabella i risultati e si effettua il confronto:

punto

x

y

z

soluzione

A

1

0

1

minimo assoluto*

B

3

0

27

massimo assoluto

C

0

2

8

-

D

0

1

1

minimo assoluto*

E

0,71

1,53

7,17

-

* Sono minimo assoluto tutti i punti del segmento AD

 

Estremi assoluti in un modello lineare (modello di Programmazione Lineare)

 

In un modello lineare sia la funzione z che tutti i vincoli sono di primo grado.

Il una situazione di questo tipo, come si può vedere nell’esempio mostrato di seguito, la soluzione di massimo e di minimo, se esiste[2], cade in un vertice del campo di scelta.

Grazie a questa circostanza basterebbe calcolare il valore della z in tutti i vertici e, dal confronto, dedurre gli estremi assoluti. Può essere ancora più breve, utilizzare le linee di livello (per non calcolare tutti i vertici).

 

Esempio:       Calcolare gli estremi assoluti della funzione  soggetta a:

Svolgimento: Le curve di livello sono rette parallele di equazione per le quali all’aumentare di z si ha una retta più alta (intercetta maggiore).

 

Dunque, necessariamente, le posizioni estreme (più alta e più bassa) della retta toccano il campo di scelta nei vertici[3];

nell’esempio si avranno:

Ø       Massimo assoluto nel punto C

Ø       Minimo assoluto nel punto A.

 

 

 

 

 

Telaio: Chiudi
 

 


                                                                  Scarica il file.zip

 

 

 

 



[1] Formula del fascio proprio di rette, ovvero di un insieme di rette per un punto :

   

[2] Il campo di scelta potrebbe essere una regione aperta del piano; in tal caso potrebbe non esistere o il minimo o il massimo o entrambi gli estremi assoluti

[3] Nel caso in cui la pendenza della curva di livello coincida con quella di una frontiera la soluzione potrebbe essere rappresentata da tutta la frontiera.