Massimi e minimi di funzioni a due
variabili
I massimi e minimi
(o, più brevemente, gli estremi) di una funzione a due variabili possono essere
classificati come segue:
q Estremi
liberi: punti più alti
(massimi) o più bassi (minimi) della funzione relativamente ad un intorno
circolare di un punto.
q Estremi
vincolati (da equazioni):
punti più alti (massimi) o più bassi (minimi) della funzione soggetta ad un
vincolo di uguaglianza:
q Estremi
assoluti (vincolati da un sistema di disequazioni): punti più alti (massimi) o più bassi
(minimi) della funzione soggetta ad un sistema di vincoli di disuguaglianza che
definiscono una zona del piano x0y (regione ammissibile):
q Procedimento
grafico – Applicabile
quando la funzione è facilmente rappresentabile graficamente per curve di
livello (le curve di livello sono rette, parabole, circonferenze, iperboli
equilatere)
q Procedimento
algebrico (Derivate) –
Sempre applicabile
Descrizione dei
procedimenti:
Procedimento
grafico:
1. Si rappresenta graficamente la funzione per
curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della
variabile z e le curve
2. Si cercano, fra tutte le curve, situazioni
estreme (la più grande o la più piccola): queste, se ci sono, rappresenteranno
un estremo relativo
3. Alla curva più grande verrà associato
Ø un massimo relativo se la z è in relazione
diretta con le curve (all’aumentare di z la curva aumenta di dimensione)
Ø un minimo relativo se la z è in relazione
inversa con le curve
Osservazione: in realtà tale procedimento conduce ad un
estremo relativo solo se le curve di livello sono circonferenze o ellissi.
Esempio:
Calcolare gli estremi relativi della funzione
Curva di livello
generica:
Si tratta di
circonferenze concentriche di centro e raggio ; dunque e all’aumentare di z
diminuisce il raggio.
Si avrà una
situazione estrema nella circonferenza più piccola (raggio=0); essendoci
relazione inversa fra z e raggio rappresenterà un massimo relativo.
Soluzione :
Massimo relativo per x=2 e y=-3 z=13 (il
massimo vale 13, il punto di massimo ha coordinate (2,-3,13) )
Procedimento
algebrico:
1. Si calcolano le due derivate parziali prime
2. Si calcolano i punti critici
(potenziali estremi relativi) risolvendo il sistema delle derivate parziali
prime poste uguali a 0
3. Si calcolano le quattro derivate seconde
4. Si calcola l’Hessiano, ovvero il
determinante della matrice quadrata del secondo ordine formata dalle derivate
seconde:
5. Si valuta, per ogni punto critico, il segno
dell’Hessiano in base al seguente schema:
Sia un punto critico; se
Ø
§
allora è un massimo relativo
§
allora è un minimo relativo
Ø allora è un punto di sella
Ø allora non si possono trarre conclusioni e
serve un’analisi grafica (linee di livello in un intorno di P) per capire di
che punto si tratta
Osservazione: potendo aver a che fare con molti punti
critici è conveniente annotare i vari valori in una tabella di questo tipo:
punto |
x |
y |
H |
z”xx |
tipo |
A |
2 |
-1 |
3 |
3 |
minimo relativo |
B |
3 |
2 |
2 |
-1 |
massimo relativo |
C |
4 |
4 |
-2 |
|
sella |
D |
-1 |
0 |
0 |
|
? |
Esempio:
Calcolare gli estremi relativi della funzione
Svolgimento:
e
dunque il sistema:
Si trovano 4 punti critici:
; ; ;
Si calcola l’Hessiano:
In tabella la soluzione del problema:
punto |
x |
y |
H |
z”xx |
tipo |
A |
-1 |
|
-12 |
- |
sella |
B |
-1 |
|
-12 |
- |
sella |
C |
2 |
0 |
24 |
4 |
minimo
relativo |
D |
-2 |
0 |
8 |
-4 |
massimo
relativo |
Rappresentazione
grafica della
superficie realizzata con Derive 5
Sono
chiaramente visibili il max, il min ed una delle selle (l’altra è in posizione
simmetrica rispetto al max).
q Procedimento
grafico – Applicabile
quando sia le curve di livello della funzione che il vincolo sono facilmente
rappresentabili graficamente (rette, parabole, circonferenze, iperboli
equilatere)
q Procedimento per
sostituzione (Metodo elementare o delle derivate) – Applicabile quando nel vincolo è
possibile esplicitare una variabile
q Procedimento
algebrico (Metodo dei moltiplicatori di Lagrange) – Sempre applicabile
Descrizione dei
procedimenti:
Procedimento
grafico:
1. Si rappresenta graficamente la funzione per
curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della
variabile z e le curve
2. Si rappresenta graficamente il vincolo
(nello stesso sistema cartesiano)
3. Si cercano, fra tutte le curve di livello
che hanno punti in comune con il vincolo, situazioni estreme: queste, se ci
sono, rappresenteranno estremi vincolati
4. Alle curve estreme verranno assegnati massimo o minimo vincolati a seconda
della relazione esistente fra z e le curve di livello.
Esempio:
Calcolare gli estremi vincolati della funzione
soggetta al vincolo
Curva di livello
generica:
Si tratta di
circonferenze concentriche di centro e raggio ; dunque e all’aumentare di z
diminuisce il raggio.
Il vincolo è una
retta di equazione .
È evidente che la
situazione estrema coincide con la retta tangente; essendo quella tangente la
circonferenza più piccola ed esistendo una relazione inversa fra z e raggio si
avrà un massimo vincolato nel punto di tangenza A.
Ora il problema di
ricerca delle coordinate del punto A è puramente geometrico. Trattandosi in
questo esempio di circonferenza è possibile procedere in 3 modi diversi:
a)
Condizione di tangenza. Tale procedimento, valido per ogni conica,
consiste nel mettere a sistema la curva di livello generica con l’equazione
della retta; nell’equazione di 2° grado risolutiva del sistema va poi posta la
condizione di tangenza delta=0:
equazione:
Condizione di tangenza:
Soluzione
Per il calcolo delle coordinate del punto A
sostituisco il valore di z nel sistema:
; coordinate del punto A
di massimo vincolato: ;
b)
Distanza retta-Centro. Tale procedimento vale solo per la
circonferenza e si avvale della proprietà che il raggio è perpendicolare alla
retta tangente (nel punto di tangenza).
Si calcola il raggio della circonferenza tangente come distanza fra retta e
centro:
dunque: elevando al quadrato
Soluzione .
Ora, come nel procedimento precedente, si risolve il sistema fra circonferenza
e retta calcolando dunque la soluzione di massimo vincolato: ;
c)
Intersezione fra raggio e tangente. Anche tale procedimento vale solo per la
circonferenza e si avvale della proprietà che il raggio è perpendicolare alla
retta tangente (nel punto di tangenza).
Si calcola l’equazione del raggio CA conoscendo punto di passaggio C e
coefficiente angolare della retta perpendicolare:
equazione raggio CA[1]: ovvero
Ora, per calcolare le coordinate del punto A, punto di incontro fra
retta-vincolo e raggio CA, basta risolvere il seguente sistema:
la cui soluzione è
dunque il massimo vincolato: ;
Sostituendo ; in si calcola
Procedimento
per sostituzione:
1. Si esplicita il vincolo rispetto ad una
variabile (x o y indifferentemente)
2. Si sostituisce l’espressione ricavata nella
funzione iniziale eliminando dunque una variabile
3. Si procede come per il calcolo di estremi
relativi in una funzione ad una variabile (studio del segno della derivata
prima)
Esempio:
Calcolare gli estremi vincolati della funzione soggetta al vincolo
-3 2
+ 0 - 0 +
Soluzioni : Massimo vincolato e minimo vincolato
Procedimento
algebrico:
1.
Ricordando
che la funzione è soggetta al vincolo
, si costruisce la funzione di Lagrange (o lagrangiana) come:
che è una funzione
a 3 variabili (dove è detto
moltiplicatore di Lagrange)
2.
Si
calcolano le tre derivate parziali prime
3.
Si
calcolano i punti critici (potenziali estremi vincolati) risolvendo il
sistema delle tre derivate parziali prime poste uguali a 0
4.
Si
calcola l’Hessiano orlato, ovvero il determinante della matrice quadrata del
terzo ordine* formata come segue:
5.
Si
valuta, per ogni punto critico, il segno dell’Hessiano orlato in base al
seguente schema:
Sia un punto critico; se
Ø
è un massimo
vincolato di z
Ø
è un minimo vincolato
di z
Ø
non si possono trarre conclusioni e serve
un’analisi grafica per capire di che punto si tratta
Osservazione: potendo aver a che fare con molti punti
critici è conveniente annotare i vari valori in una tabella di questo tipo:
punto |
x |
y |
|
|
tipo |
A |
2 |
-1 |
3 |
-3 |
minimo
vincolato |
B |
3 |
2 |
2 |
1 |
massimo
vincolato |
C |
-1 |
0 |
0 |
0 |
? |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Esempio:
Calcolare gli estremi vincolati della funzione soggetta a :
Svolgimento : Si costruisce la funzione di Lagrange:
Si calcolano le derivate parziali prime, si pongono =0 e si mettono a sistema:
Si trovano 4 punti critici:
punto |
x |
y |
|
A |
0 |
|
|
B |
0 |
|
|
C |
|
0 |
|
D |
|
0 |
|
* Il
calcolo del determinante di una matrice del 3° ordine (3 righe e 3 colonne) può
essere fatto con la regola di Sarrus. Tale regola, applicabile solo a
matrici del 3° ordine, consiste nel copiare le prime due colonne della
matrice sulla destra della matrice stessa e nel fare una serie di prodotti
incrociati, come mostrato nel seguente schema:
=
Si calcola ora
l’Hessiano orlato:
=
Soluzioni:
punto |
x |
y |
|
|
tipo |
z |
A |
0 |
|
|
-48 |
minimo vincolato |
2 |
B |
0 |
|
|
-48 |
minimo vincolato |
2 |
C |
|
0 |
|
48 |
massimo vincolato |
3 |
D |
|
0 |
|
48 |
massimo vincolato |
3 |
q Procedimento
grafico – Applicabile
quando la funzione è facilmente rappresentabile graficamente per curve di
livello (le curve di livello sono rette, parabole, circonferenze, iperboli
equilatere)
q Procedimento
algebrico – Sempre
applicabile
Descrizione dei
procedimenti:
Procedimento
grafico:
1. Si risolve il sistema dei vincoli
rappresentando graficamente la regione del piano (campo di scelta) in cui ricercare gli estremi
2. Si rappresenta graficamente la funzione per
curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della
variabile z e le curve
3. Si cercano, fra tutte le curve di livello
che hanno punti in comune con la regione del piano (campo di scelta), situazioni estreme: queste, se ci sono,
rappresenteranno estremi assoluti.
Esempio: Calcolare gli estremi assoluti della funzione soggetta a:
Svolgimento: Si risolve il sistema dei vincoli
individuando la regione del piano delimitata dal triangolo OAB;
Si rappresentano graficamente
le curve di livello; si tratta di una famiglia di parabole con la concavità rivolta verso l’alto e lo stesso asse si
simmetria di equazione ; all’aumentare di z aumenta il termine noto, dunque la parabola
si alza (relazione diretta).
Si hanno due
situazioni estreme:
Ø La parabola più alta è quella tangente nel
punto D; dunque D è un massimo assoluto (relazione diretta …)
Ø La parabola più bassa è quella passante per
A; dunque A è un minimo assoluto
Soluzione di
minimo assoluto: A: .
Il punto D (massimo assoluto) va calcolato
con il classico procedimento di tangenza ad una parabola:
…equazione:
condizione di tangenza:
Procedimento
algebrico:
1. Si risolve il sistema dei vincoli
rappresentando graficamente la regione del piano (campo di scelta) in cui ricercare gli estremi
2. Si calcolano i punti critici della funzione
(potenziali estremi relativi) appartenenti alla regione del piano (campo di scelta) e, per ciascuno di
questi, si calcola il valore di z
3. Sia calcolano gli estremi vincolati in
corrispondenza di ogni vincolo di uguaglianza (rappresentato dalle frontiere
della regione del piano) e, per ciascuno di questi, si calcola il valore di z
4. Sia calcolano il valori di z in
corrispondenza dei vertici della regione del piano
5. Si confrontano i valori della z di tutti i
punti trovati: al valore più alto corrisponderà il massimo assoluto ed al più
basso il minimo assoluto
Osservazione: avendo a che fare con molti punti è
conveniente annotare i vari valori in una tabella di questo tipo:
punto |
x |
y |
z |
soluzione |
A |
2 |
-1 |
3 |
massimo assoluto |
B |
3 |
2 |
2 |
- |
C |
-1 |
0 |
0 |
minimo assoluto |
… |
… |
… |
… |
… |
Esempio:
Calcolare gli estremi assoluti della funzione soggetta a:
Svolgimento: Si risolve il sistema dei vincoli
individuando la regione del piano delimitata dal poligono ABCD;
Si calcolano i
punti critici risolvendo il sistema:
I punti critici e non appartengono al campo di scelta per cui vanno ignorati.
Ora si effettua lo
studio nei vari lati del poligono (frontiere):
Ø Lato CD: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene , la cui derivata prima vale ; si annulla nel punto che è al di fuori dell’intervallo della y in questa frontiera
e va dunque ignorato.
Ø Lato CB: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene , la cui derivata prima vale ; si annulla nei punti che,
approssimativamente, valgono:; solo la seconda soluzione è accettabile; dunque si ottiene
il punto E, la cui ordinata vale approssimativamente ; la z, nel punto E, vale approssimativamente .
Ø Lato AB: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene , la cui derivata prima vale ; si annulla nel punto che è al di fuori dell’intervallo della x in questa frontiera
e va dunque ignorato.
Ø Lato AD: vincolo
Sostituendo il vincolo di uguaglianza nella funzione si ottiene ; dunque in questo lato la funzione è costante.
Infine si calcola
il valore della z in corrispondenza ad ogni vertice, si riportano in tabella i
risultati e si effettua il confronto:
punto |
x |
y |
z |
soluzione |
A |
1 |
0 |
1 |
minimo assoluto* |
B |
3 |
0 |
27 |
massimo assoluto |
C |
0 |
2 |
8 |
- |
D |
0 |
1 |
1 |
minimo assoluto* |
E |
0,71 |
1,53 |
7,17 |
- |
* Sono minimo assoluto tutti i punti del
segmento AD
Estremi assoluti in un modello lineare (modello di Programmazione Lineare)
In un modello
lineare sia la funzione z che tutti i vincoli sono di primo grado.
Il una situazione
di questo tipo, come si può vedere nell’esempio mostrato di seguito, la
soluzione di massimo e di minimo, se esiste[2],
cade in un vertice del campo di scelta.
Grazie a questa
circostanza basterebbe calcolare il valore della z in tutti i vertici e, dal
confronto, dedurre gli estremi assoluti. Può essere ancora più breve,
utilizzare le linee di livello (per non calcolare tutti i vertici).
Esempio:
Calcolare gli estremi assoluti della funzione soggetta a:
Svolgimento: Le curve di livello sono rette parallele
di equazione per le quali all’aumentare di z si ha una retta più alta
(intercetta maggiore).
Dunque,
necessariamente, le posizioni estreme (più alta e più bassa) della retta
toccano il campo di scelta nei vertici[3];
nell’esempio si
avranno:
Ø Massimo assoluto nel punto C
Ø Minimo assoluto nel punto A.
[1] Formula
del fascio proprio di rette, ovvero di un insieme di rette per un punto :
[2] Il campo di scelta potrebbe essere
una regione aperta del piano; in tal caso potrebbe non esistere o il minimo o
il massimo o entrambi gli estremi assoluti
[3] Nel caso in cui la pendenza
della curva di livello coincida con quella di una frontiera la soluzione
potrebbe essere rappresentata da tutta la frontiera.