…… Qualche suggerimento…...

•   Le definizioni di limite vanno (purtroppo) studiate così, come le ho scritte nella mappa o nella presentazione; per ricordarle bisogna cercare di capire bene il significato e di notare in che cosa differiscono….cioè in che modo le “parole” della definizione sono legate ai simboli della scrittura : lim…                                          

•   Per prima cosa dobbiamo fare una considerazione……se tutte le funzioni fossero “continue”,  cioè “tranquille” (…come quelle che hanno per grafico una retta…una parabola) non servirebbe   introdurre il concetto di limite….
  

•        Le funzioni in genere hanno invece dei comportamenti “strani” in corrispondenza di alcuni punti (per  esempio quelli che escludi dal dominio della f(x) ) 
  

•   Che fare, allora, per capire come si comporta la funzione in prossimità di uno di tali punti (x_o), non potendo calcolare f(x_o) ?

          Andiamo a “spiarla”, avvicinandoci il più possibile ad x_o……Infatti scrivere :  

           significa calcolare (se possibile) a quale valore si avvicina f(x) se x si avvicina ad x_o .

           In generale, scrivere :  

significa che, comunque fisso un intorno l di l, esiste in corrispondenza ad esso, un intorno H di x_o, tale che comunque scelgo x in H (x ¹ x_o), f(x) Î l. 

In parole povere: se diamo ad x valori sempre più vicini ad x_o la nostra f(x) assume valori sempre più vicini al valore l .  

    Perché le definizioni sono 4?

  x_o ed l possono valere anche  ¥ (infinito) per cui le combinazioni possibili sono 4:

x   tende ad  xo   (FINITO)
x tende ad  ¥

Ora  basta notare che cosa si ripete uguale in ogni definizione e che cosa cambia.

Fermo restando che il significato in generale è quello descritto sopra, le variazioni sono dovute al diverso modo di indicare gli intorni:  

 * Quando la funzione tende ad un numero finito l, si parla sempre di un e >0 piccolo a piacere   per indicare che anche se lo si sceglie piccolissimo la f(x) è talmente vicina ad l da rendere vera la:

                                                              |f(x)- l|< e

* Quando la funzione tende ad  ¥ , per far capire che diverge (cioè diventa grandissima in valore assoluto) si parla di un numero E >0 grande a piacere  ,nel senso che, per quanto grande lo si possa scegliere, all’avvicinarsi di x ad x_{o ,} la f(x) riesce ad essere più grande di E e lo si esprime dicendo:

                                          |f(x)|>E

  * Le altre parti delle definizioni sono legate al modo di esprimere gli intorni di x_o .

Se si tratta di un numero finito si parla sempre di un intorno U (opp. H).

Se x_o = ¥ , si dice…..per ogni   |x|>k    perchè questa è la maniera di indicare un intorno di ¥       

In particolare:  

x>k   indica un intorno di +¥
x<k     indica un intorno di -¥

N.B. Un suggerimento per memorizzare le 4 definizioni :

 scarica il foglio che trovi qui in basso, ritaglialo lungo le linee tratteggiate ed utilizza le frasi in esso contenute come in un puzzle (scrivi un limite a caso e cerca di ricomporre la sua definizione.......).