Definizioni

 

Crescenza e decrescenza di una funzione y=f(x) in un intervallo [a,b].

 

Siano: x1, x2 Î [a,b] con x1<x2

 

f(x2)>f(x1)

Funzione CRESCENTE 

y’>0

f(x2)<f(x1)

Funzione DECRESCENTE 

y’<0

f(x2)=f(x1)

Funzione COSTANTE 

y’=0

 

Concavità di una funzione y=f(x) in un intervallo [a,b].

 

Sia: x1 Î [a,b] e r la retta tangente alla funzione nel punto x1 .

r al di sotto della funzione

Concavità verso l’alto

y’’>0

r al di sopra della funzione

Concavità verso il basso

y’’<0

 

Massimi e Minimi relativi

 

Sia x0 un punto di continuità della funzione y=f(x).

Il punto x0 si dice massimo o minimo relativo quando cambia la crescenza della funzione; in particolare:

 

Massimo relativo se  (intorno completo di x0)

Il Massimo relativo è il punto più alto di un intorno completo del punto.

La funzione è prima crescente poi decrescente.

x0 è un punto di derivabilità

f’(x0)=0  punto a tangenza orizzontale

x0 è un punto di non derivabilità

 punto angoloso

cuspide (punto a tangenza verticale)

 

Minimo relativo se  (intorno completo di x0)

Il Minimo relativo è il punto più basso di un intorno completo del punto.

La funzione è prima decrescente poi crescente.

x0 è un punto di derivabilità

f’(x0)=0  punto a tangenza orizzontale

x0 è un punto di non derivabilità

punto angoloso

cuspide (punto a tangenza verticale)

 

Massimi e minimi assoluti

 

¨      Un massimo assoluto è il punto più alto della funzione in un intervallo [a,b].

Il punto x0 è di massimo assoluto se

¨      Un minimo assoluto è il punto più basso della funzione in un intervallo [a,b].

Il punto x0 è di minimo assoluto se

In un intervallo [a,b] di continuità massimo e minimo assoluto coincidono

v     o con un massimo-minimo relativo

v     o con un estremo dell’intervallo

 

Flessi

 

Sia x0 un punto di continuità della funzione y=f(x).

Il punto x0 si dice flesso quando cambia la concavità della funzione; la retta tangente nel punto di flesso attraversa la funzione.

I punti di flesso vengono classificati in base a:

v     Cambio concavità:

Ø      Ascendente: la concavità passa dal basso verso l’alto

Ø      Discendente: la concavità passa dall’alto verso il basso

v     Tipo di retta tangente nel punto

Ø      Orizzontale: tangente orizzontale di equazione y=k

Ø      Verticale: tangente verticale di equazione x=k

Ø      Obliquo: tangente obliqua di equazione y=mx+q

 

Flessi ascendenti (la concavità passa dal basso verso l’alto)

Orizzontale

f’(x0)=0  e f’’(x0)=0

Verticale

punto di non derivabilità

Obliquo

f’(x0)¹0  e f’’(x0)=0

 

Flessi discendenti (la concavità passa dall’alto verso il basso)

Orizzontale

f’(x0)=0  e f’’(x0)=0

Verticale

punto di non derivabilità

Obliquo

f’(x0)¹0  e f’’(x0)=0


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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