Crescenza e
decrescenza
di una funzione y=f(x) in un
intervallo [a,b].
Siano:
x1, x2 Î [a,b] con x1<x2
f(x2)>f(x1) |
Funzione CRESCENTE |
y’>0
|
f(x2)<f(x1) |
Funzione DECRESCENTE |
y’<0 |
f(x2)=f(x1) |
Funzione COSTANTE |
y’=0 |
Concavità di una funzione y=f(x) in un intervallo [a,b].
Sia:
x1 Î [a,b]
e r la retta tangente alla funzione
nel punto x1 .
r al di sotto della funzione |
Concavità verso l’alto |
y’’>0
|
r al di sopra della funzione |
Concavità verso il basso |
y’’<0 |
Sia
x0 un punto di continuità della
funzione y=f(x).
Il
punto x0 si dice massimo
o minimo relativo quando cambia la crescenza della funzione; in
particolare:
Massimo relativo se (intorno completo di x0)
Il Massimo relativo è il
punto più alto di un intorno completo del punto.
La funzione è prima
crescente poi decrescente.
x0 è un punto di derivabilità |
f’(x0)=0 punto a tangenza orizzontale |
x0 è un punto di non
derivabilità |
punto angoloso cuspide (punto a tangenza
verticale) |
Minimo relativo se (intorno completo di x0)
Il Minimo relativo è il
punto più basso di un intorno completo del punto.
La funzione è prima decrescente
poi crescente.
x0 è un punto di derivabilità |
f’(x0)=0 punto a tangenza orizzontale |
x0 è un punto di non
derivabilità |
punto angoloso cuspide (punto a tangenza
verticale) |
¨
Un
massimo assoluto è il punto più alto
della funzione in un intervallo [a,b].
Il punto x0
è di massimo assoluto se
¨
Un
minimo assoluto è il punto più basso
della funzione in un intervallo [a,b].
Il punto x0
è di minimo assoluto se
v
o
con un massimo-minimo relativo
v
o
con un estremo dell’intervallo
Sia
x0 un punto di continuità
della funzione y=f(x).
Il
punto x0 si dice flesso
quando cambia la concavità della funzione; la retta tangente nel punto
di flesso attraversa la funzione.
I
punti di flesso vengono classificati in base a:
v
Cambio
concavità:
Ø
Ascendente: la concavità passa dal
basso verso l’alto
Ø
Discendente: la concavità passa dall’alto verso il basso
v
Tipo
di retta tangente nel punto
Ø
Orizzontale: tangente orizzontale di equazione y=k
Ø
Verticale: tangente verticale di equazione x=k
Ø
Obliquo: tangente obliqua di equazione y=mx+q
Flessi ascendenti (la concavità passa dal basso verso l’alto)
Orizzontale |
|
f’(x0)=0 e f’’(x0)=0 |
Verticale |
punto di non derivabilità |
|
Obliquo |
f’(x0)¹0 e f’’(x0)=0 |
Flessi discendenti (la concavità passa dall’alto verso il basso)
Orizzontale |
|
f’(x0)=0 e f’’(x0)=0 |
Verticale |
punto di non derivabilità |
|
Obliquo |
f’(x0)¹0 e f’’(x0)=0 |