Sia data una curva, di equazione y = f(x), che presenti dei rami che si
estendono all’infinito.
Sia P(x;y) un punto qualsiasi di uno di tali rami. Se esiste una retta r tale
che, al tendere di P all’infinito lungo quel ramo, la distanza di P
dalla retta r tende a zero, allora la retta chiamasi asintoto
della curva.
Gli asintoti possono considerarsi le rette tangenti alla curva
all’infinito.
Si possono avere asintoti verticali (rette del tipo : x = c), orizzontali
(rette del tipo : y = k) oppure obliqui (rette del tipo : y = mx + q).
Asintoto verticale
Si dice che la funzione f: X--->R presenta un asintoto verticale,
di equazione x = c se e solo se :
 (anche solo
da destra o da sinistra)
Infatti la distanza dalla retta: d = |x-c|, di un generico punto
P(x;y), appartenente ad uno dei rami che si estendono all’infinito, tende a
zero per x --> c. Di seguito sono illustrati graficamente alcuni casi
possibili:
 
Asintoto orizzontale
Si dice che la funzione f: X--->R presenta un asintoto orizzontale,
di equazione y = k se e solo se :
Esempi di altri casi possibili:
Asintoto obliquo
Condizione necessaria (ma non sufficiente) per l’esistenza di un
asintoto obliquo, è che risulti:
L’ asintoto obliquo esiste ed è del tipo : y = mx + q, se esistono finiti
i due limiti seguenti che forniscono i valori di m e di q:
N.B Il primo dei due limiti deve essere diverso da zero (altrimenti la
retta non sarebbe obliqua ma orizzontale), il secondo basta che sia finito (se
la q valesse zero, semplicemente l’asintoto sarebbe una retta per
l’origine).
Osservazioni
· Una funzione algebrica razionale intera non ha asintoti di alcun tipo.
· Una funzione alg. razionale fratta ha un asintoto verticale in
corrispondenza di ogni “zero” del denominatore ( ad esclusione di eventuali
punti di discontinuità eliminabile).
· Una funzione alg. razionale fratta ha asintoto obliquo solo se il
numeratore è di un solo grado superiore al denominatore; solo in tal
caso infatti il limite che esprime il valore di m può venire finito e
diverso da zero.
· Gli asintoti orizzontali e quelli obliqui possono essere attraversati dalla
curva, anche in più punti; quelli verticali no.
Ritira gli esercizi per questa lezione....Esercizi
asintoti e poi controlla le soluzioni.
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